Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события
.RU

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события


ЛЕКЦИЯ №5


Повторение испытаний

(Схема Бернулли)

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из n независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь две исхода: наступление какого-то события А (успех) или его не наступление (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна Р(А) = р (0 ≤ p ≤ 1) – постоянна и не зависит от номера испытаний. Следовательно, вероятность неуспеха Р()=1 – p = q – тоже постоянна.

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n – k раз.

По теореме умножения вероятностей получим:

p·p·....·p·q·q·....·q = pk qn-k

k n-k




А А А А ...................A A A A A ...................... A




n

Число возможных вариантов выборки k элементов из n вычисляется по формуле:

.

Окончательно получим:

(1)

Это и есть формула Бернулли (Биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

(2)

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (1) следует:

(3)

Очевидно этот же результат получится, если вспомнить, что для
k = {0, 1, 2, ...., n} – получим полную группу событий, вероятность которой равна 1.

Введем обозначения, пусть означает вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем
m1 – раз, и не более, чем m2 – раз (). Тогда имеет место формула:

(4)

Вероятность того, что в результате n испытаний, успех наступит хотя бы 1 раз, определяется формулой:

(5)

Необходимо найти k0 – наивероятнейшее число успехов, т.е. такое k0 вероятность которого максимальна.

Запишем условия:

a) ; b) ;

а) ; ; .

b) ; ; .

. (6)

При n → ∞ (достаточно большом) получим – (вспомним частотное определение вероятности).

Значит, можно сказать, что при больших n наиболее вероятная частота успеха совпадает (равна) вероятности успеха при одном испытании.

ПРИМЕР: Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна р=0.75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

РЕШЕНИЕ: Вероятность нормального расхода р=0.75. Вероятность перерасхода q=0.25. Искомая вероятность по формуле Бернулли:

.

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли.

Производим n независимых испытаний, каждое из которых имеет m (m > 2) попарно несовместимых и единственно возможных исходов Аj(j = 1, 2, ..., m). Т.е. Аj – полная группа событий. Вероятности наступления каждого события pi = P(Ai) – в общем случае различны и удовлетворяют условию . В этих условиях для произвольно заданных целых неотрицательных чисел ki таких, что выводится вероятность Pn(k1, k2, .., km) того, что при n испытаниях исход А1 наступит ровно k1 раз, исход – k2 раз и т.д., исход Am произойдет km раз:

(7)

Это и есть полиномиальное распределение.
^ Локальная теорема Муавра-Лапласа
Несмотря на элементарность формулы при больших n непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Поэтому по теореме Муавра-Лапласа:

, где , а . (8)

Данная формула применима при , и тем более точна, чем . Функция – табулирована и обладает свойствами:

a) – четная , b) – убывающая, кроме того ≈ 0.0001. при .
^ Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Вспомним:

Переходя к пределу, при , заменяем , получим:

, (9)

где ; .

Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

, (10)

обладающая следующими свойствами:

а) – нечетная функция; б) – возрастает на R;

в) ; г) .

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

.

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Пусть у нас n1 – число опытов; p – вероятность успехов, . В случае n2 > n1 считаем, что . Пусть при ,, тогда по известной формуле оценим вероятность ровно k – успехов в схеме Бернулли:



– среднее значение.

Если требовать, чтобы: , ,

Если n – велико, а вероятность р – мала, то при npq < 10 Пуассон, иначе ЛТМЛ.

ПРИМЕР 1: Производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания р = 0.25. Какова вероятность событий: Р4(0), Р4(1), Р4(2), Р4(3), Р4(4)?

РЕШЕНИЕ: . .

. .



ПРИМЕР 2: Вероятность появления бракованной детали р = 0.005. Какова вероятность того, что в партии из 10000 деталей бракованных будет не более 70?

РЕШЕНИЕ: Схема испытаний Бернулли:



Вспомним интегральную теорему Муавра–Лапласа:

здесь m1 = 0; m2 = 70. Находим:

m1 – np =-50, m2 – np = 20.

, .

Окончательно получим: .




eto-mozhet-stat-ocherednoj-tochkoj-napryazheniya-mezhdu-naseleniem-i-vlastyami.html
eto-nauka-o-vzaimodejstvii-himicheskoj-sredi-obitaniya-cheloveka-i-himicheskogo-sostava-samogo-cheloveka.html
eto-ne-skazka-a-priskazka-skazka-budet-vperedi.html
eto-ochen-legkij-i-neobremenitelnij-vid-pomoshi-roditelyam-shpargalka-eto-ved-tak-dlya-uverennosti-a-ne-dlya-obyazatelnogo-ispolneniya-mozhno-prochitat-i-podumat-no-sdelat-vse-po-svoemu.html
eto-odna-iz-drevnejshih-dinastij-o-kotoroj-mi-znaem-ochen-malo-stranica-8.html
eto-organizaciya-sozdannaya-dlya-prevneseniya-denezhnih-sredstv-i-razmesheniya-ih-ot-svoego-imeni-i-za-svoj-schet-na-usloviyah-srochnosti-vozvratnosti-i-platnosti-osn.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/valopatnikov-narodnie-hudozhestvennie-promisli-problemi-sohraneniya-i-razvitiya.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/vvedenie-zakon-penzenskoj-oblasti-ot-10-oktyabrya-2007-g-n-1369-zpo-o-programme-ekonomicheskogo-i-socialnogo-razvitiya.html
  • composition.bystrickaya.ru/ot-ayutii-do-bangkoka-nadezhda-ionina.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/prilozhenie-163k-razdelu-16-vremennih-norm-i-pravil-vremennie-normi-i-pravila-proektirovaniya-mnogofunkcionalnih.html
  • urok.bystrickaya.ru/programma-obucheniya-po-discipline-syllabus-dlya-studentov-svedeniya-o-prepodavatele-akimova-b-zh-docent-kafedri-stranica-14.html
  • shkola.bystrickaya.ru/samie-sobakovidnie-koshki.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/54format-xml-opisaniya-rekvizitov-zakritoe-akcionernoe-obshestvo-didzhital-dizajn.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/polozhenie-oprovedenii-vserossijskogo-festivalya-snoubordinga-snowboard.html
  • tests.bystrickaya.ru/koncepciya-razvitiya-shkoli-proekt-perehod-na-novie-obrazovatelnie-standarti-proekt-razvitie-sistemi-podderzhki-talantlivih-detej.html
  • lecture.bystrickaya.ru/a-g-zabelin-2012-g.html
  • books.bystrickaya.ru/doklad-predsedatelya-gaka-direktora-fskn-rossii-viktora-ivanova-v-kabule-na-regionalnoj-antinarkoticheskoj-konferencii.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/rodina-kak-konservativnij-proekt-konservatizm-v-sovremennoj-rossii.html
  • credit.bystrickaya.ru/otchet-ob-ispolnenii-programmi-socialno-ekonomicheskogo-razvitiya-goroda-glazova-na-2010-2014-godi-za-2010-god.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/spisok-ispolzovannoj-literaturi-akcentuirovannie-lichnosti.html
  • klass.bystrickaya.ru/4-metodicheskie-ukazaniya-k-vipolneniyu-i-oformleniyu-kontrolnoj-raboti.html
  • thescience.bystrickaya.ru/kalendarno-tematicheskij-plan-uchebnaya-disciplina-pravovoe-obespechenie-professionalnoj-deyatelnosti-prepodavatel-pryanisheva-nelli-alekseevna.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/voprosi-1.html
  • testyi.bystrickaya.ru/92ustanovka-ptv-v-sistemnij-blok-mkts-rukovodstvo-po-ekspluatacii-periferijnih-modulej-teploschetchika-mkts-2008.html
  • control.bystrickaya.ru/domashnee-zadanie-1-1-muzika-i-literaturnie-geroi-uchit-vslushivatsya-v-mir-zvukov-i-nahodit-otklik-v-svoej-dushe-muzika-ya-dubravina-slova-v-suslova-neznajka-muzika-f-kulau-sonata-1-chast.html
  • doklad.bystrickaya.ru/volshebnij-televizor-izgnannik.html
  • education.bystrickaya.ru/39-2000-5-obsherossijskij-klassifikator-produkcii-ok-005-93-moskva.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/kursi-inostrannih-valyut-k-rossijskomu-rublyu-ustanovlennie-bankomrossii-s1iyunya2005goda-dlya-celej-ucheta-itamozhennihplatezhej.html
  • knigi.bystrickaya.ru/shkala-obshej-internalnosti-io-ponyatie-o-zatrudnennom-obshenii-i-ego-prichinah.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/rukovodstvo-gruppoj-stranica-26.html
  • kanikulyi.bystrickaya.ru/zhuni-i-hunni-istoriya-naroda-hunnu.html
  • shkola.bystrickaya.ru/simmetriya-i-principi-invariantnosti-v-fizike.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-iv-civilizaciya-evropejskaya-tozhestvenna-li-s-obshechelovecheskoyu-n-ya-danilevskij-glava-i-1864-i-1854-godi.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/uchebniki-metodicheskij-material.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zvyagincev-a-g-orlov-yu-g-z-451-neizvestnaya-femida-dokumenti-sobitiya-lyudi.html
  • university.bystrickaya.ru/garantii-prav-profsoyuznih-obedinenij-pri-osushestvlenii-imi-svoih-funkcij-chast-2.html
  • literatura.bystrickaya.ru/s-a-medvedev-professor-fakulteta-prikladnoj-politologii-gu-vshe-e-mail-smedvedevhse-ru.html
  • school.bystrickaya.ru/dogovor-dareniya.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/literatura-koncepciya-psihicheskih-processov-i-m-sechenova-32-struktura-ponyatiya-refleks-33.html
  • institut.bystrickaya.ru/tematicheskoe-planirovanie-urokov-himii-v-8-11-klassah-6.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/puti-povisheniya-bezopasnosti-vodohranilish-yuzhnogo-urala.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.