.RU

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события


ЛЕКЦИЯ №5


Повторение испытаний

(Схема Бернулли)

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из n независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь две исхода: наступление какого-то события А (успех) или его не наступление (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна Р(А) = р (0 ≤ p ≤ 1) – постоянна и не зависит от номера испытаний. Следовательно, вероятность неуспеха Р()=1 – p = q – тоже постоянна.

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n – k раз.

По теореме умножения вероятностей получим:

p·p·....·p·q·q·....·q = pk qn-k

k n-k




А А А А ...................A A A A A ...................... A




n

Число возможных вариантов выборки k элементов из n вычисляется по формуле:

.

Окончательно получим:

(1)

Это и есть формула Бернулли (Биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

(2)

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (1) следует:

(3)

Очевидно этот же результат получится, если вспомнить, что для
k = {0, 1, 2, ...., n} – получим полную группу событий, вероятность которой равна 1.

Введем обозначения, пусть означает вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем
m1 – раз, и не более, чем m2 – раз (). Тогда имеет место формула:

(4)

Вероятность того, что в результате n испытаний, успех наступит хотя бы 1 раз, определяется формулой:

(5)

Необходимо найти k0 – наивероятнейшее число успехов, т.е. такое k0 вероятность которого максимальна.

Запишем условия:

a) ; b) ;

а) ; ; .

b) ; ; .

. (6)

При n → ∞ (достаточно большом) получим – (вспомним частотное определение вероятности).

Значит, можно сказать, что при больших n наиболее вероятная частота успеха совпадает (равна) вероятности успеха при одном испытании.

ПРИМЕР: Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна р=0.75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

РЕШЕНИЕ: Вероятность нормального расхода р=0.75. Вероятность перерасхода q=0.25. Искомая вероятность по формуле Бернулли:

.

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли.

Производим n независимых испытаний, каждое из которых имеет m (m > 2) попарно несовместимых и единственно возможных исходов Аj(j = 1, 2, ..., m). Т.е. Аj – полная группа событий. Вероятности наступления каждого события pi = P(Ai) – в общем случае различны и удовлетворяют условию . В этих условиях для произвольно заданных целых неотрицательных чисел ki таких, что выводится вероятность Pn(k1, k2, .., km) того, что при n испытаниях исход А1 наступит ровно k1 раз, исход – k2 раз и т.д., исход Am произойдет km раз:

(7)

Это и есть полиномиальное распределение.
^ Локальная теорема Муавра-Лапласа
Несмотря на элементарность формулы при больших n непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Поэтому по теореме Муавра-Лапласа:

, где , а . (8)

Данная формула применима при , и тем более точна, чем . Функция – табулирована и обладает свойствами:

a) – четная , b) – убывающая, кроме того ≈ 0.0001. при .
^ Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Вспомним:

Переходя к пределу, при , заменяем , получим:

, (9)

где ; .

Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

, (10)

обладающая следующими свойствами:

а) – нечетная функция; б) – возрастает на R;

в) ; г) .

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

.

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Пусть у нас n1 – число опытов; p – вероятность успехов, . В случае n2 > n1 считаем, что . Пусть при ,, тогда по известной формуле оценим вероятность ровно k – успехов в схеме Бернулли:



– среднее значение.

Если требовать, чтобы: , ,

Если n – велико, а вероятность р – мала, то при npq < 10 Пуассон, иначе ЛТМЛ.

ПРИМЕР 1: Производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания р = 0.25. Какова вероятность событий: Р4(0), Р4(1), Р4(2), Р4(3), Р4(4)?

РЕШЕНИЕ: . .

. .



ПРИМЕР 2: Вероятность появления бракованной детали р = 0.005. Какова вероятность того, что в партии из 10000 деталей бракованных будет не более 70?

РЕШЕНИЕ: Схема испытаний Бернулли:



Вспомним интегральную теорему Муавра–Лапласа:

здесь m1 = 0; m2 = 70. Находим:

m1 – np =-50, m2 – np = 20.

, .

Окончательно получим: .




eto-mozhet-stat-ocherednoj-tochkoj-napryazheniya-mezhdu-naseleniem-i-vlastyami.html
eto-nauka-o-vzaimodejstvii-himicheskoj-sredi-obitaniya-cheloveka-i-himicheskogo-sostava-samogo-cheloveka.html
eto-ne-skazka-a-priskazka-skazka-budet-vperedi.html
eto-ochen-legkij-i-neobremenitelnij-vid-pomoshi-roditelyam-shpargalka-eto-ved-tak-dlya-uverennosti-a-ne-dlya-obyazatelnogo-ispolneniya-mozhno-prochitat-i-podumat-no-sdelat-vse-po-svoemu.html
eto-odna-iz-drevnejshih-dinastij-o-kotoroj-mi-znaem-ochen-malo-stranica-8.html
eto-organizaciya-sozdannaya-dlya-prevneseniya-denezhnih-sredstv-i-razmesheniya-ih-ot-svoego-imeni-i-za-svoj-schet-na-usloviyah-srochnosti-vozvratnosti-i-platnosti-osn.html
  • composition.bystrickaya.ru/pobediteli-chempionata-kaliningradskoj-oblasti-po-pulevoj-strelbe-16-19-fevralya-2012-goda.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/sootvetstvie-uchebnogo-plana-trebovaniyam-otche-t.html
  • esse.bystrickaya.ru/provedenii-obshego-sobraniya-akcionerov-akcionernogo-obshestva.html
  • school.bystrickaya.ru/globalizaciya-i-ee-vliyanie-na-ekonomiku-ukraini.html
  • apprentice.bystrickaya.ru/vidi-i-harakteristika-stihijnih-bedstvij.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tablica-12-ocenka-stepeni-vliyaniya-videleniya-dopolnitelnih-obemov-resursov-v-2012-godu.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/ob-utverzhdenii-programmi-socialno-ekonomicheskogo-razvitiya-tomskoj-oblasti-na-2006-2010-godi-i-na-period-do-2012-goda-stranica-3.html
  • student.bystrickaya.ru/24-rabochaya-dokumentaciya-auditora-planirovanie-audita-32-moshennichestvo-i-oshibki-32-uchet-zakonov-i-inih-normativnih.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/problema-cheloveka-v-paradigme-zapadnogo-antropocentrizma.html
  • assessments.bystrickaya.ru/btru-emtihandari-mselesne.html
  • education.bystrickaya.ru/3-kurs-vesennij6-semestr-rabochaya-programma-f-tpu-1-2101-disciplini-inostrannij-yazik-v-sfere-professionalnoj.html
  • institut.bystrickaya.ru/tema-vvedenie-v-yadernoe-nerasprostranenie-7-tema-yadernoe-oruzhie-i-sredstva-dostavki-8.html
  • education.bystrickaya.ru/13-obespechenie-poryadka-v-universitete-kollektivnij-dogovor-po-regulirovaniyu-socialno-trudovih-otnoshenij.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/formirovanie-obshestvennogo-mneniya.html
  • grade.bystrickaya.ru/nalogovie-instrumenti-gosudarstvennogo-regulirovaniya-razvitiya-predprinimatelskoj-sredi-v-innovacionno-orientirovannoj-ekonomike.html
  • tasks.bystrickaya.ru/3mesto-disciplini-v-strukture-opp-b3-professionalnij-cikl-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-visshego-professionalnogo.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-trinadcataya-tak-gotovilas-territoriya-pervencev-a-a-chest-smolodu-roman.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/r-ibragimbekov-i-v-ezhov-beloe-solnce-pustini.html
  • institut.bystrickaya.ru/tehnicheskoe-zadanie-postavka-knizhnoj-produkcii-dlya-kgu-kamchatskaya-kraevaya-detskaya-biblioteka-im-v-kruchini-mesto-postavki-683980-g-petropavlovsk-kamchatskij-b-r-pijpa-7.html
  • education.bystrickaya.ru/332-turistskie-marshruti-i-programmi-na-sredne-i-dolgosrochnuyu-perspektivu-neobhodimoe-resursnoe-infrastrukturnoe-i-kadrovoe-obespechenie.html
  • doklad.bystrickaya.ru/v-v-shkurakov-moskva-tolyatti-2010-g-stranica-8.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/organizacionno-metodicheskij-razdel-cel-kursa.html
  • writing.bystrickaya.ru/georgij-vladimirovich-vernadskij-mihail-mihajlovich-karpovich-stranica-22.html
  • college.bystrickaya.ru/12-inflyaciya-prichini-vozniknoveniya-tipologiya-rabota-v-svobodnom-dostupe.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/peterburgskaya-konvenciya-1801.html
  • knigi.bystrickaya.ru/regionalnij-perechen-uchebnikov-na-20072008-uchebnij-god.html
  • thescience.bystrickaya.ru/kalendarnij-plan-provedeniya-olimpiad-dlya-uchashihsya-5-11-klassov-v-20112012-uchebnom-godu-predmet.html
  • composition.bystrickaya.ru/organizaciya-detskogo-samoupravleniya-publichnij-doklad-direktora-gou-sosh-552-po-itogam-2009-2010-uchebnogo-goda.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/programma-chelovek-i-priroda-v-kitajskoj-kulture-obem-uchebnoj-nagruzki-i-vidi-otchetnosti.html
  • school.bystrickaya.ru/biznes-plan-organizacii-proizvodstva-plastikovoj-tari-upakovki-v-lyubercah-moskovskoj-oblasti.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/albom-po-logoritmike-logoritmicheskie-uprazhneniya-dlya-detej-s-rechevimi-otkloneniyami.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tema-iv-russkaya-advokatura-sovetskogo-perioda-bojkov-a-d-kapinus-n-i-advokatura-rossii-uchebnoe-posobie.html
  • bukva.bystrickaya.ru/uchebno-prakticheskoe-posobie-po-kursu-mirovaya-ekonomika-ufa-2008-stranica-15.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/voprosi-i-kommentarii-presledovanie-na-rabochem-meste-po-priznaku-polovoj-prinadlezhnosti.html
  • esse.bystrickaya.ru/programma-razvitiya-sozdanie-sovremennoj-adaptivnoj-shkoli-dlya-obespecheniya-kachestvennogo-obrazovaniya-i-professionalnogo-samoopredeleniya-vipusknikov-mou-srednyaya-obsheobrazovatelnaya-shkola-20-stranica-2.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.