.RU

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события


ЛЕКЦИЯ №5


Повторение испытаний

(Схема Бернулли)

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из n независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь две исхода: наступление какого-то события А (успех) или его не наступление (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна Р(А) = р (0 ≤ p ≤ 1) – постоянна и не зависит от номера испытаний. Следовательно, вероятность неуспеха Р()=1 – p = q – тоже постоянна.

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n – k раз.

По теореме умножения вероятностей получим:

p·p·....·p·q·q·....·q = pk qn-k

k n-k




А А А А ...................A A A A A ...................... A




n

Число возможных вариантов выборки k элементов из n вычисляется по формуле:

.

Окончательно получим:

(1)

Это и есть формула Бернулли (Биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

(2)

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (1) следует:

(3)

Очевидно этот же результат получится, если вспомнить, что для
k = {0, 1, 2, ...., n} – получим полную группу событий, вероятность которой равна 1.

Введем обозначения, пусть означает вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем
m1 – раз, и не более, чем m2 – раз (). Тогда имеет место формула:

(4)

Вероятность того, что в результате n испытаний, успех наступит хотя бы 1 раз, определяется формулой:

(5)

Необходимо найти k0 – наивероятнейшее число успехов, т.е. такое k0 вероятность которого максимальна.

Запишем условия:

a) ; b) ;

а) ; ; .

b) ; ; .

. (6)

При n → ∞ (достаточно большом) получим – (вспомним частотное определение вероятности).

Значит, можно сказать, что при больших n наиболее вероятная частота успеха совпадает (равна) вероятности успеха при одном испытании.

ПРИМЕР: Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна р=0.75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

РЕШЕНИЕ: Вероятность нормального расхода р=0.75. Вероятность перерасхода q=0.25. Искомая вероятность по формуле Бернулли:

.

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли.

Производим n независимых испытаний, каждое из которых имеет m (m > 2) попарно несовместимых и единственно возможных исходов Аj(j = 1, 2, ..., m). Т.е. Аj – полная группа событий. Вероятности наступления каждого события pi = P(Ai) – в общем случае различны и удовлетворяют условию . В этих условиях для произвольно заданных целых неотрицательных чисел ki таких, что выводится вероятность Pn(k1, k2, .., km) того, что при n испытаниях исход А1 наступит ровно k1 раз, исход – k2 раз и т.д., исход Am произойдет km раз:

(7)

Это и есть полиномиальное распределение.
^ Локальная теорема Муавра-Лапласа
Несмотря на элементарность формулы при больших n непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Поэтому по теореме Муавра-Лапласа:

, где , а . (8)

Данная формула применима при , и тем более точна, чем . Функция – табулирована и обладает свойствами:

a) – четная , b) – убывающая, кроме того ≈ 0.0001. при .
^ Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Вспомним:

Переходя к пределу, при , заменяем , получим:

, (9)

где ; .

Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

, (10)

обладающая следующими свойствами:

а) – нечетная функция; б) – возрастает на R;

в) ; г) .

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

.

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Пусть у нас n1 – число опытов; p – вероятность успехов, . В случае n2 > n1 считаем, что . Пусть при ,, тогда по известной формуле оценим вероятность ровно k – успехов в схеме Бернулли:



– среднее значение.

Если требовать, чтобы: , ,

Если n – велико, а вероятность р – мала, то при npq < 10 Пуассон, иначе ЛТМЛ.

ПРИМЕР 1: Производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания р = 0.25. Какова вероятность событий: Р4(0), Р4(1), Р4(2), Р4(3), Р4(4)?

РЕШЕНИЕ: . .

. .



ПРИМЕР 2: Вероятность появления бракованной детали р = 0.005. Какова вероятность того, что в партии из 10000 деталей бракованных будет не более 70?

РЕШЕНИЕ: Схема испытаний Бернулли:



Вспомним интегральную теорему Муавра–Лапласа:

здесь m1 = 0; m2 = 70. Находим:

m1 – np =-50, m2 – np = 20.

, .

Окончательно получим: .




eto-mozhet-stat-ocherednoj-tochkoj-napryazheniya-mezhdu-naseleniem-i-vlastyami.html
eto-nauka-o-vzaimodejstvii-himicheskoj-sredi-obitaniya-cheloveka-i-himicheskogo-sostava-samogo-cheloveka.html
eto-ne-skazka-a-priskazka-skazka-budet-vperedi.html
eto-ochen-legkij-i-neobremenitelnij-vid-pomoshi-roditelyam-shpargalka-eto-ved-tak-dlya-uverennosti-a-ne-dlya-obyazatelnogo-ispolneniya-mozhno-prochitat-i-podumat-no-sdelat-vse-po-svoemu.html
eto-odna-iz-drevnejshih-dinastij-o-kotoroj-mi-znaem-ochen-malo-stranica-8.html
eto-organizaciya-sozdannaya-dlya-prevneseniya-denezhnih-sredstv-i-razmesheniya-ih-ot-svoego-imeni-i-za-svoj-schet-na-usloviyah-srochnosti-vozvratnosti-i-platnosti-osn.html
  • exam.bystrickaya.ru/zakon-ob-srp-vstupil-v-silu-v-1996-godu-vdannom-zakone-soderzhitsya-opredelenie-ponyatiya-soglashenie-o-razdele-produkcii-dalee-srp-stranica-8.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/proekt-kodifikator-elementov-soderzhaniya-po-ispanskomu-yaziku-dlya-sostavleniya-kontrolnih-izmeritelnih-materialov-edinogo-gosudarstvennogo-ekzamena-2009-g.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/vsvoej-knige-karolinskie-rasskazi-avtor-oznakomit-chitatelej-s-vazhnejshimi-sobitiyami-imevshim-mesto-v-istorii-naselennih-mest-na-nineshnej-territorii-elskogo-ra-stranica-7.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/proishozhdenie-programma-disciplini-istoriya-mirovih-religij-dlya-specialnosti-032301-65-regionovedenie-podgotovki-specialista.html
  • literatura.bystrickaya.ru/s-ixxxvi-112-mezhgosudarstvennij-sovet-po-standartizacii-metrologii-i-sertifikacii.html
  • spur.bystrickaya.ru/kontakterstvo-i-religiya-doklad-nlo.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/principi-sovremennoj-punktuacii.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/primernaya-programma-po-fizike-na-profilnom-urovne-sostavlena-na-osnove-federalnogo-komponenta-gosudarstvennogo-standarta-srednego-polnogo-obshego-obrazovaniya-stranica-5.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/obrazovatelnaya-programma-na-2010-2011-uchebnij-god-stranica-3.html
  • composition.bystrickaya.ru/otchet-o-rabote-biblioteki-za-1-polugodie-2011-2012-uchebnogo-goda-chitatelej-266.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/uchebnogo-kursa.html
  • letter.bystrickaya.ru/oa-saprikina-va-zhukovskij-i-portugalskaya-literatura-ot-sostavitelej.html
  • studies.bystrickaya.ru/diagnostika-intellektualnih-sposobnostej.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/odobreno-uchebno-metodicheskim-sovetom-ekonomicheskogo-fakulteta-obshaya-i-tamozhennaya-statistika-uchebno-metodicheskij-kompleks-specialnost-080115-tamozhennoe-delo-moskva-2009-stranica-2.html
  • teacher.bystrickaya.ru/glava-4-mikroskopicheskie-strannosti-grin-b-elegantnaya-vselennaya-superstruni-skritie-razmernosti-i-poiski-okonchatelnoj.html
  • textbook.bystrickaya.ru/kanangovoe-maslo-kniga-yavlyaetsya-nadezhnim-spravochnikom-ne-tolko-dlya-specialistov-parfyumernogo-proizvodstva-no.html
  • knigi.bystrickaya.ru/s6-ssilki-dlya-predstavlenij-prinyatiya-reshenij-nacionalnij-standart-rossijskoj-federacii-promishlennie-avtomatizirovannie.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/programma-disciplini-innformacionnie-sistemi-upravleniya-proizvodstvennoj-kompaniej-dlya-napravleniya-080700-62-biznes-informatika-podgotovki-bakalavra-avtor-ivliev-m-k.html
  • urok.bystrickaya.ru/programma-disciplini-propedevtika-vnutrennih-boleznej-luchevaya-diagnostika.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/muzikalno-didakticheskie-igri-dlya-doshkolnikov.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/logistika-proizvodstvennogo-predpriyatiya.html
  • assessments.bystrickaya.ru/cink-bor-hrom-selen-med-marganec-magnij-kremnij-kalcij-kalij-zhelezo-cink-funkcii-v-organizme.html
  • pisat.bystrickaya.ru/strelkovoe-oruzhie-rossii-avtomat-kalashnikova.html
  • shkola.bystrickaya.ru/stanovlenie-i-sovremennoe-sostoyanie-rinka-gosudarstvennih-cennih-bumag-v-rossii.html
  • composition.bystrickaya.ru/otkritij-publichnij-doklad-stranica-4.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/5rejtingovaya-sistema-ocenki-po-discipline-pedagogika-praktikum-po-obrabotke-konstrukcionnih-materialov-rejtingovaya.html
  • crib.bystrickaya.ru/grizlov-b-v-monitoring-smi-23-oktyabrya-2007-g.html
  • reading.bystrickaya.ru/literatura-analiz-epizoda.html
  • pisat.bystrickaya.ru/uchebnaya-programma-kursa-po-viboru-9-klass.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/poziciya-myurreya-model-soglasovannosti-nekotorie-voprosi-voznikayushie-pri-analize-treh-modelej.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/sindrom-arterialnoj-gipertenzii.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/programma-vospitaniya-i-obucheniya-detej-rannego-vozrasta-ot-goda-do-3-let.html
  • turn.bystrickaya.ru/plan-lekcii-anabolizm-i-katabolizm-mikrobnoj-kletki-ih-vzaimosvyaz-vliyanie-fiziko-himicheskih-faktorov-sredi-na-metabolicheskie-processi-klassifikaciya-mehanizmov-regulyacii-metabolizma.html
  • abstract.bystrickaya.ru/2-dokumentaciya-ob-aukcione-v-elektronnoj-forme-stranica-3.html
  • lecture.bystrickaya.ru/7-programmirovanie-pribora-versiya-programmi-or8dm-1-pribor-priemno-kontrolnij-ohrannij-orion-8dm-1-kod-okp.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.