.RU

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события


ЛЕКЦИЯ №5


Повторение испытаний

(Схема Бернулли)

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из n независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь две исхода: наступление какого-то события А (успех) или его не наступление (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна Р(А) = р (0 ≤ p ≤ 1) – постоянна и не зависит от номера испытаний. Следовательно, вероятность неуспеха Р()=1 – p = q – тоже постоянна.

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n – k раз.

По теореме умножения вероятностей получим:

p·p·....·p·q·q·....·q = pk qn-k

k n-k




А А А А ...................A A A A A ...................... A




n

Число возможных вариантов выборки k элементов из n вычисляется по формуле:

.

Окончательно получим:

(1)

Это и есть формула Бернулли (Биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

(2)

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (1) следует:

(3)

Очевидно этот же результат получится, если вспомнить, что для
k = {0, 1, 2, ...., n} – получим полную группу событий, вероятность которой равна 1.

Введем обозначения, пусть означает вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем
m1 – раз, и не более, чем m2 – раз (). Тогда имеет место формула:

(4)

Вероятность того, что в результате n испытаний, успех наступит хотя бы 1 раз, определяется формулой:

(5)

Необходимо найти k0 – наивероятнейшее число успехов, т.е. такое k0 вероятность которого максимальна.

Запишем условия:

a) ; b) ;

а) ; ; .

b) ; ; .

. (6)

При n → ∞ (достаточно большом) получим – (вспомним частотное определение вероятности).

Значит, можно сказать, что при больших n наиболее вероятная частота успеха совпадает (равна) вероятности успеха при одном испытании.

ПРИМЕР: Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна р=0.75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

РЕШЕНИЕ: Вероятность нормального расхода р=0.75. Вероятность перерасхода q=0.25. Искомая вероятность по формуле Бернулли:

.

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли.

Производим n независимых испытаний, каждое из которых имеет m (m > 2) попарно несовместимых и единственно возможных исходов Аj(j = 1, 2, ..., m). Т.е. Аj – полная группа событий. Вероятности наступления каждого события pi = P(Ai) – в общем случае различны и удовлетворяют условию . В этих условиях для произвольно заданных целых неотрицательных чисел ki таких, что выводится вероятность Pn(k1, k2, .., km) того, что при n испытаниях исход А1 наступит ровно k1 раз, исход – k2 раз и т.д., исход Am произойдет km раз:

(7)

Это и есть полиномиальное распределение.
^ Локальная теорема Муавра-Лапласа
Несмотря на элементарность формулы при больших n непосредственное вычисление по ней связано с большой вычислительной работой (погрешностью). Поэтому по теореме Муавра-Лапласа:

, где , а . (8)

Данная формула применима при , и тем более точна, чем . Функция – табулирована и обладает свойствами:

a) – четная , b) – убывающая, кроме того ≈ 0.0001. при .
^ Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Вспомним:

Переходя к пределу, при , заменяем , получим:

, (9)

где ; .

Для вычисления по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

, (10)

обладающая следующими свойствами:

а) – нечетная функция; б) – возрастает на R;

в) ; г) .

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

.

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Пусть у нас n1 – число опытов; p – вероятность успехов, . В случае n2 > n1 считаем, что . Пусть при ,, тогда по известной формуле оценим вероятность ровно k – успехов в схеме Бернулли:



– среднее значение.

Если требовать, чтобы: , ,

Если n – велико, а вероятность р – мала, то при npq < 10 Пуассон, иначе ЛТМЛ.

ПРИМЕР 1: Производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания р = 0.25. Какова вероятность событий: Р4(0), Р4(1), Р4(2), Р4(3), Р4(4)?

РЕШЕНИЕ: . .

. .



ПРИМЕР 2: Вероятность появления бракованной детали р = 0.005. Какова вероятность того, что в партии из 10000 деталей бракованных будет не более 70?

РЕШЕНИЕ: Схема испытаний Бернулли:



Вспомним интегральную теорему Муавра–Лапласа:

здесь m1 = 0; m2 = 70. Находим:

m1 – np =-50, m2 – np = 20.

, .

Окончательно получим: .




eto-mozhet-stat-ocherednoj-tochkoj-napryazheniya-mezhdu-naseleniem-i-vlastyami.html
eto-nauka-o-vzaimodejstvii-himicheskoj-sredi-obitaniya-cheloveka-i-himicheskogo-sostava-samogo-cheloveka.html
eto-ne-skazka-a-priskazka-skazka-budet-vperedi.html
eto-ochen-legkij-i-neobremenitelnij-vid-pomoshi-roditelyam-shpargalka-eto-ved-tak-dlya-uverennosti-a-ne-dlya-obyazatelnogo-ispolneniya-mozhno-prochitat-i-podumat-no-sdelat-vse-po-svoemu.html
eto-odna-iz-drevnejshih-dinastij-o-kotoroj-mi-znaem-ochen-malo-stranica-8.html
eto-organizaciya-sozdannaya-dlya-prevneseniya-denezhnih-sredstv-i-razmesheniya-ih-ot-svoego-imeni-i-za-svoj-schet-na-usloviyah-srochnosti-vozvratnosti-i-platnosti-osn.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-vtoraya-sinopsis-ili-chto-bilo-ranshe.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/metodika-prepodavaniya-nachalnogo-kursa-matematiki-istoriya-moskvi.html
  • university.bystrickaya.ru/ethan-frome-6-essay-research-paper-ethan.html
  • kanikulyi.bystrickaya.ru/vsego-v-dannij-razdel-v-sentyabre-dobavleni-23-normativno-tehnicheskih-dokumenta.html
  • thescience.bystrickaya.ru/kniga-4-filosofiya-xx-v-uch-dlya-vuzov-stranica-49.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-disciplina-proektirovanie-informacionnih-sistem-naimenovanie-disciplini-soglasno-uchebnomu-planu.html
  • uchit.bystrickaya.ru/strategiya-modernizacii-stranica-24.html
  • universitet.bystrickaya.ru/uchebnaya-programma-po-kursu-vichislitelnaya-tehnika-i-programmirovanie-specialnost-350800-dokumentovedenie-i-dokumentacionnoe-obespechenie-upravleniya.html
  • textbook.bystrickaya.ru/izmenenie-antioksidantnoj-zashiti-pri-hobl-a-g-chuchalin-hronicheskie-obstruktivnie-bolezni-lyogkih.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/formirovanie-firmennogo-stilya-organizacii.html
  • esse.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-uchebnoj-disciplini-elektrotehnika-i-elektronika-dlya-specialnosti.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tvorcheskie-ispitaniya-na-specialnosti-pravila-priema-na-2011-g-tomsk.html
  • college.bystrickaya.ru/29meropriyatiya-v-sfere-razvitiya-transportnoj-infrastrukturi-regionalnogo-znacheniya.html
  • tasks.bystrickaya.ru/33-skazka-o-sinovyah-indu-kniga-predstavlyaet-soboj-sbornik-dialogov-mezhdu-ogromnim-kolichestvom-mudrecov-sobravshihsya.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zamestitel-mera-arhangelska-ujdet-v-arhenergo-iz-za-nizkoj-zarplati-regnum-280905.html
  • doklad.bystrickaya.ru/vo-vladivostoke-projdet-prazdnik-shokolada.html
  • nauka.bystrickaya.ru/upravlenie-tvorcheskim-potencialom-menedzhment-21-veka.html
  • bukva.bystrickaya.ru/postanovlenie-ot-26-dekabrya-1994-g-n-367-obsherossijskij-klassifikator-professij-rabochih-dolzhnostej-sluzhashih-i-tarifnih-razryadov-razrabotan-v-celyah-realizacii-stranica-7.html
  • shpora.bystrickaya.ru/zadachi-1-opredelit-ponyatiya-kadrovoj-politiki-processov-otbora-adaptacii-i-motivacii-personala-2.html
  • klass.bystrickaya.ru/5-bezopasnost-zhiznedeyatelnosti-proekt-kompleksnoj-programmi-socialno-ekonomicheskogo-razvitiya-suzunskogo-rajona.html
  • notebook.bystrickaya.ru/kajsarov-a-s-slavyanskaya-i-rossijskaya-mifologiya.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/pereplet-4-s-a-gorushkina-t-e-pravednikova.html
  • notebook.bystrickaya.ru/kachestvennij-metod-sociologicheskih-issledovanij-chast-4.html
  • nauka.bystrickaya.ru/umenshenie-negativnih-posledstvij-specializacii-organizacionnij-dizajn.html
  • testyi.bystrickaya.ru/alternativnie-istochniki-metodicheskoe-posobie-po-perevodu-sokrashenij-i-virazhenij-chasto-vstrechayushihsya-v-aeronavigacionnih.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/poyasneniya-po-sostavleniyu-opisi-prikaz-minoboroni-rf-ot-31-avgusta-2005g-n200-ob-utverzhdenii-nastavleniya-po.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/s-l-utchenko-reprintnoe-izdanie-pechataetsya-po-resheniyu-redakcionnoj-kollegii-serii-literaturnie-pamyatniki-1994-g.html
  • institut.bystrickaya.ru/tablica-7-vozmozhnie-istochniki-neprednamerennih-iskusstvennih-pomeh-novosti-navigacii-1-2004-g.html
  • notebook.bystrickaya.ru/gosudarstvennie-vnebyudzhetnie-fondi.html
  • composition.bystrickaya.ru/oftalmologiya-zhurnala.html
  • occupation.bystrickaya.ru/minimalnie-trebovaniya-k-znaniyam-i-umeniyam-studenta-sociologiya.html
  • report.bystrickaya.ru/iyul-mladshij-vozrast-programma-letnej-razvivayushe-ozdorovitelnoj-raboti-v-maudo-detskij-sad-1-g-yalutorovska-na-2011-god.html
  • desk.bystrickaya.ru/po-napravleniyu-niokr-1-naimenovanie-federalnoj-celevoj-programmi.html
  • letter.bystrickaya.ru/mts-postroit-25-domov-dlya-pogorelcev-intervyu-s-koordinatorom-dobrovolcev-zanimayushihsya-tusheniem-pozharov.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/bezrabotica-perehodit-v-realnie-formi-orenburgskie-novosti-23-11-2009.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.